III/            NECESSITE D'UNE BOITE DE VITESSES

    Ce paragraphe a pour but de démontrer l'utilité d'une boîte de vitesses (bdv).

    1) Généralités

    Tout d'abord, une boîte de vitesses permet à une automobile d'être immobile bien que son moteur tourne, grâce au point mort (exemple à un feu rouge), puis de démarrer (lorsque le feu rouge passe au vert). Ensuite, nous pouvons tout aussi bien aller en marche-avant qu'en marche-arrière. Enfin, une boîte de vitesses permet au véhicule de rouler depuis "0 Km/h" jusqu'à sa vitesse maximale tout en faisant continuellement fonctionner son moteur dans sa plage optimale de fonctionnement (c'est à dire entre le régime moteur de couple maximum et le régime moteur de puissance maximale). Au regard de l'étendue des vitesses (différence entre la valeur maximale de la vitesse du véhicule et sa vitesse minimale) importante, il faut impérativement plusieurs "rapports de boîte" à cause d'une plage de fonctionnement moteur somme toute très limitée.

    Le premier rapport d'une boîte de vitesses permet de démarrer le véhicule jusque dans des conditions rudes (poids élevé, forte pente...). Le dernier rapport permet au véhicule d'atteindre une haute vitesse au détriment de la "force" ou encore de l'accélération (une pente trop élevée ferait décélérer le véhicule) : L'exemple de la TWINGO (page précédente) montre que pour avoir une forte accélération entre 80 Km/h et 120 Km/h, celle-ci doit plutôt être en quatrième qu'en cinquième. D'ailleurs, un rétrogradage jusqu'en troisième aurait peut-être amélioré les performances. En fait, la formule (h) sur la capacité d'accélération du véhicule permet de tracer le graphe de la force de traction en fonction du rapport engagé et de la vitesse à laquelle le véhicule se trouve. Ainsi, on voit d'un seul coup d'oeil sur ce graphique lorsque les "paraboles" se coupent et donc le moment opportun auquel il faut changer de rapport pour accélérer au mieux. En d'autres termes, si le conducteur reste sur la courbe enveloppe, il optimise alors ses accélérations. L'exemple avec notre fil rouge "TWINGO" :

en abscisse la vitesse du véhicule en kilomètre/heure et en ordonnée une échelle désignant l'accélération du véhicule. On voit donc que les premiers rapports offrent une accélération généreuse tandis que les derniers l'amoindrissent. En d'autres termes, on a plus de chances d'être plaqué au siège en 1ère qu'en 5 ème. De plus, sur les petits rapports, l'accélération est violente mais ponctuelle alors qu'elle est plus constante sur les grands rapports.

    2) Cas particulier

     Etudions le cas d'un coupé cabriolet français au losange équipé d'un moteur turbo diesel "dci". Lorsque l'on regarde l'étagement de sa boîte de vitesses, la sixième permet théoriquement d'emmener le véhicule jusqu'à plus de 220 Km/heure. Or le véhicule ne peut dépasser les 200 Km/h. L'étagement long de la sixième paraît alors étonnant et l'on imagine qu'un étagement plus court aurait permis de meilleures reprises sur ce rapport. Cette première remarque est incomplète au premier abord. Ce dernier étagement permet au véhicule de consommer moins en vitesse de croisière et d'abaisser le niveau sonore dans l'habitacle. De plus, son cinquième rapport lui permet de rouler jusqu'à plus de 180 Km/h.

      Prenons l'exemple de notre TWINGO. Son couple maxi est 90N.m à 2750 tours/minute et sa puissance maxi est atteinte à 5000 tours/minutes. Si l'on est à 5000 tours/min en seconde, alors notre la sortie de boîte de vitesses délivrera un couple de 68 (N.m) ´ r où r est toujours le rapport de multiplication du couple (quelconque ici). Si vous aviez un rapport qui vous mène à cette vitesse au régime de couple maxi, alors la sortie de boîte fournit un couple de 90N.m ´ r' avec r' = r ´ 2750/5000 = 0,55 r. La sortie de boîte fournit donc un couple de 50 r contre 68 r auparavant. Par conséquent, bien qu'étant au régime de couple maxi, l'accélération est moins bonne.

      Sur une boîte de vitesses à rapports discrets (fixes), l'accélération est forte au régime de couple maxi (puisque r est constant pour le rapport, la multiplication de r par le couple est maxi quand le couple est lui même maxi)

       En revanche, si on veut maximiser l'accélération à 80 Km/h (maximiser la poussée à cet instant t), il faudra que le rapport fasse tourner le moteur au régime de puissance maxi (et même plutôt un peu avant si on veut pouvoir accélérer) à l'instant où le véhicule est à 80 Km/h. Ce n'est pas le régime de couple maxi mais puisque l'on tire un braquet plus court, on augmente r et il compense la perte de couple à cause de notre présence au régime de puissance maxi, où le couple est plus faible qu'au régime de couple maxi (vrai dans tous les cas car sinon, ce régime en question ne serait pas le régime de puissance maxi)

Démonstration :

Cmax est le couple maximal au régime Nc_max. et Npuiss est le régime de puissance maximale et délivrant un couple Cpuiss.

Cpuiss ´ Npuiss > Cmax ´  Nc_max

donc

Cpuiss ´  Npuiss / Nc_max > Cmax  ou  Cpuiss > Cmax ´  Nc_max / Npuiss    

avec

Nc_max / Npuiss < 1

On peut même ajouter que la fonction du couple aux roues suivant le régime moteur est monotone entre le régime de couple maxi et de puissance maximale. Une remarque vient donc immédiatement : un turbo diesel a une puissance maximale développée à des bas régimes moteur (autour de 4000 tr/min par exemple), en revanche, une essence a sa puissance maximale vers 6000 tours/min. Le diesel tournant moins vite, sa bdv réduit donc moins les vitesses de rotation du moteur et multiplie donc moins le couple moteur. Il est donc normal qu'à puissances égales, un diesel affiche des couples importants mais il n'en résulte pas de meilleures accélérations par rapport à une essence. Sauf erreur de ma part :

(6000 tr/min) ¸ (4000 tr/min) = 1,5.

On en conclut donc que pour qu'un diesel dépasse une essence lors d'un exercice d'accélération (1000 mètres départ arrêté par exemple), il faut que son couple moteur au régime de puissance maxi soit supérieur de plus de 50% au couple moteur au régime de puissance maxi du véhicule essence. Les deux moteurs n'étant alors plus à puissances égales.

    3) Optimisation d'une accélération

     Optimiser une accélération revient à minimiser le temps de passage sur un rapport donné d'une vitesse véhicule à une autre vitesse véhicule. Par exemple, on peut optimiser l'accélération d'un véhicule entre 80 Km/heure et 120 Km/heure en 4ème. Il est à noter que cette accélération est une caractéristique dynamique appréciée par la presse automobile. Cette donnée est assez importante puisque 80 Km/h est, à peu près sur route, la vitesse à laquelle on se trouve derrière un camion tandis que 120 Km/h est la vitesse à laquelle on se trouve lorsqu'on a fini de le doubler.

     D'une manière plus générale, optimiser une accélération sur un rapport et sur une gamme de vitesses (par exemple entre 80 et120 Km/heure en quatrième) revient à maximiser l'accélération sur cette gamme de vitesses et sur ce rapport. On reprend donc notre formule (i) d'accélération entre V1 et V2 (fin du paragraphe II.2 sur la capacité d'accélération d'un véhicule). C'est une fonction mathématique ou l'accélération est fonction de plusieurs constantes :

                    - vitesse d'arrivée V2

                    - vitesse initiale V1

                    - rendement mécanique global entre moteur et roues h_T 

                    - coefficient 2 ; 1/2 et nombre p                   

                    - le périmètre de la roue de l'automobile

                    - la masse volumique de l'air r

                    - la surface frontale S du véhicule projetée perpendiculaire à l'écoulement (maître-couple)

                    - le coefficient Cx, de pénétration dans l'air, propre au véhicule

                    - l'effort f dû au roulement

                    - le coefficient g (= 9,81 m/s²) de pesanteur

                    - la masse m du véhicule

    En revanche, cette fonction est dépendante de plusieurs variables :

                    - Le couple moteur qui est fonction du régime moteur. Nous retiendrons donc le régime moteur comme la variable plutôt que le couple.

                    - La vitesse V qui varie tout au long de l'accélération

                    - r, coefficient de multiplication du couple. C'est lui qui, en partie et suivant sa valeur, fera passer l'accélération par un maximum. C'est donc une valeur variable inconnue au départ qu'il nous faut déterminer. Une fois cette valeur trouvée, nous aurons déterminé notre rapport de réduction.

    Le rapport r de multiplication du couple moteur (nombre_dents_roue_menée / nombre_dents_roue_menante) est indépendant du régime moteur. En revanche, c'est la vitesse qui relie ces deux variables indépendantes car la vitesse aux roues est fonction de r et du régime moteur. En d'autres termes, r et le régime moteur ne sont pas fonction l'un de l'autre mais la combinaison des deux traduit une vitesse à la roue unique. Cette vitesse à la roue doit satisfaire la gamme des vitesses de l'accélération que l'on cherche à optimiser.

On voit bien que le régime moteur ainsi que r conditionnent la vitesse à la roue.

La vitesse à la roue est exprimée en m/s, le régime moteur en tours/minute, le périmètre en mètres (m).

Lorsqu'une fonction mathématique à une variable passe par un maximum, alors sa dérivée s'annule en ce maximum (idem pour un minimum). C'est sur le même "principe" que nous allons trouver notre accélération maximale.

    Pour simplifier la démarche, nous allons maximiser le produit du couple moteur par r. On suppose r connu. En fait il est préférable de connaître soit r, soit V, la vitesse où l'on souhaite maximiser l'accélération.

    La démarche plus propre consisterait à maximiser l'accélération entre deux vitesses V1 et V2 à partir de la formule (i) (fin du paragraphe II.2 sur la capacité d'accélération d'un véhicule). Elle contiendrait alors r comme inconnue, V1 et V2 seraient nos exigences et le couple moteur serait exprimé en fonction de r et de la vitesse véhicule. La vitesse serait donc l'autre variable puisque r agit dessus mais qui va se retrouver intégrée dans un premier temps (cf formule i). nous avons donc ensuite une accélération exprimée en fonction de V1 (constante de 80 Km/heure par exemple), de V2 (constante de 120 Km/heure par exemple) ainsi que les autres constantes et de la variable r. Il nous reste ensuite à trouver le r qui annule la dérivée de notre fonction. Je pense que cette méthode est très pompeuse compte tenu que le résultat peut être trouvé de manière intuitive. Le rapport en question est en fait le rapport qui fait tourner le moteur au régime de puissance max à la vitesse V2.

    Bref exemple avec la TWINGO :

         En utilisant la méthode "propre" :

On reprend la formule (i)

    Ici, on remplace respectivement V1 et V2 par 22,22 et 33,33 m/s (80 km/h et 120 km/h). Dans le cas de la TWINGO, on trouve :

Cm (n) =  7,9366.e-20 n⁶ - 1,8046.e-15 n⁵ + 1,6297.e-11 n⁴ - 7,4425.e-8 n³ + 1,7681.e-4 n² - 0,1992 n + 165,9553 où n désigne le régime moteur et Cm le couple moteur.

    Or, il est préférable de rendre l'accélération fonction de r et de V uniquement. Nous savons que :

    Où V désigne la vitesse en m/s et 1,65 le périmètre de la roue de l'auto. On peut donc remplacer le n et exprimer le couple en fonction de V et de r. Après calculs des intégrales, on trouve que l'accélération en fonction de r entre 80 Km/h et 120 Km/h vaut :

g80®120 = 0,00047r⁷ - 0,01r⁶ + 0,085r⁵ - 0,37r⁴ + 0,85r³ - 0,93r² + 0,77r - 0,53

    On va donc trouver maintenant le r qui annule la dérivée de cette fonction. On résout donc :

0,0033r⁶ - 0,06r⁵ + 0,42r⁴ - 1,48r³ + 2,54r² - 1,87r + 0,77 = 0

    On trouve r = 4,48 et g vaut 1,08 m/s². Il faut donc 10,25 secondes minimum pour passer de 80 à 120 Km/h. On note que ce rapport en question est à peu près la  troisième actuellement définie sur les TWINGO (un peu plus long en réalité). En fait, je ne conseille pas d'essayer d'optimiser le passage de 80 à 120 Km/h car cela va entraîner l'optimisation d'un rapport intermédiaire (en l'occurrence la troisième dans notre exemple). Ce serait peut être encore plus rapide si la troisième était faite pour passer de 80 à 100 Km/h et la quatrième de 100 à 120 Km/h...

    Par conséquent, il faut mieux optimiser dans le cas de la TWINGO le passage de 130 Km/h®Vitesse_max car cela va optimiser le dernier rapport. Dans tous les cas, cela conduira à un rapport court. (le plus court en fait). Il est à noter qu'un dernier rapport dimensionné au plus court n'est pas toujours astucieux.

    Nous comprenons donc aisément le caractère indispensable d'une boîte de vitesses, quelle que soit sa réalisation (mécanique, automatique...).

   Nous allons dans l'étape suivante voir les différents types de boîtes de vitesses qui s'offrent aux automobilistes. Si elles ont toutes le même but (expliqué ci-dessus), elles y parviennent de manières différentes. Nous comptons les boîtes de vitesses manuelles, automatiques, robotisées et à variation continue.

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