II /   DYNAMIQUE VEHICULE

      Nous sommes obligés de parler de "dynamique véhicule" pour embrayer ensuite sur le concept de boîte de vitesses. En effet, la dynamique véhicule introduit toutes les contraintes auxquelles le véhicule doit faire face. Ensuite, nous verrons les lois qui régissent le comportement du véhicule. Ainsi, nous comprendrons par exemple que la vitesse maximale d'un véhicule est fixée et dépend de différents paramètres.

                II-1  Résistance à l'avancement

    Lorsqu'une automobile roule à une certaine vitesse sur une certaine pente, trois efforts s'opposent à son avancement. Tout d'abord, nous distinguons la résistance au roulement, puis la résistance de l'air et enfin, une force générée par un dénivelé (pente/descente). Dans le cas d'une descente, la force accompagne le véhicule. Ces trois efforts s'expriment en Newton. Rappelons qu'1 Newton est la force qui lorsqu'elle s'exerce sur un corps d'un kilogramme, procure une accélération d'1 m/s² à celui-ci. Autrement dit, un corps d'1 kilogramme qui reçoit un effort d'un Newton voit chaque seconde sa vitesse croître de 3,6 Km/heure.

                        II-1.1  La résistance au roulement : F1

C'est la résistance due au contact pneu / sol

    (a)

avec :    F1 = force de résistance au roulement (Newton N) ; f = coefficient de résistance au roulement ; m = masse totale du véhicule (Kg) ; g = accélération de la pesanteur terrestre (ici 9,81 m/s²).

Ce coefficient f , en ligne droite, résulte de la déformation du pneumatique sur la route représentée par la figure ci-dessous :

En ce qui concerne le coefficient de résistance au roulement f, on le détermine grâce au tableau suivant : (abaque)

On comprend donc volontiers que pour minimiser f, il faut mieux rouler sur de l'asphalte que sur un chemin de terre. Pour information, voici ci-dessous la constitution d'une piste de formule 1 :

 Le f est choisi pour une configuration dite "normale du véhicule" : pression de gonflage respectée, chargement "maximal autorisé" respecté...

                        II-1.2  La résistance de l'air : F2

    (b)

avec = masse volumique de l'air (1,202 kg/) ; F2 = résistance de l'air (N) ; S = maître-couple frontal du véhicule (surface projetée, perpendiculaire à l'écoulement) ; Cx = coefficient de pénétration dans l'air du véhicule ; V = vitesse du véhicule (m/s).

Ci-dessous est donné un ordre de grandeur des valeurs du Cx :

Nous l'aurons donc compris, l'effort dû à l'air est proportionnel au Cx ainsi qu'au maître-couple et le carré de la vitesse du véhicule. Une partie des travaux de recherche sur les véhicule actuels est donc ici évidente.

                        II-1.3  La résistance de déclivité positive (cas d'une côte): F3

Elle est donnée par :

    (c)

avec : F3 = résistance en côte (N) ; m = masse du véhicule (Kg) ; g = accélération de la pesanteur (9,81 m/) ; = angle d'inclinaison de la montée (en °). L'angle de côte est donné comme suit :

                        II-1.4  La résistance totale : FT

Elle est donnée par la relation :

    (d)

Elle s'exprime en Newton (N). La puissance motrice du véhicule est régie par la relation "classique" :

avec : Puissance (W) ; Force (N) ; Vitesse (m/s).

Applications personnelles :

Vitesse maximale d'un véhicule

1) Sur une route plane et horizontale, un véhicule de 1550 Kg  avec SCx = 0,68 , d'une puissance de 88KW et dont on néglige l'effort de roulement. Sa vitesse maximale sera :

    En remplaçant, on trouve que V = 216 Km/heure. On note que 88KW 120ch. (1KW=1,35962ch). Nous avons donc prouver dans ce premier temps que la vitesse maximale du véhicule ne dépendait pas, sur une route plane et horizontale, du poids de celui-ci mais de la puissance de son moteur ainsi que de ses caractéristiques aérodynamiques et du milieu dans lequel il évolue. En fait, le poids intervient "un peu" sur la vitesse maximale de l'auto. C'est ce que nous voyons précisément dans le second exemple. Nous devons donc considérer le poids surtout s'il n'est pas négligeable comparativement à la puissance (ce qui est souvent le cas).

2) Sur une route plane et horizontale, un véhicule de 1550 Kg  avec Scx = 0,68 , d'une puissance de 88KW sans négliger l'effort de roulement (f = 0,014 car bon compromis). Calculer sa vitesse maximale. Noter qu'il s'agit du même véhicule que ci-dessus (cf premier exemple).

L'équation qui relie la puissance motrice aux efforts est :

    (f)

    Il s'agit d'une équation polynomiale de degré 3 et d'inconnue Vitesse = V (dans la formule du dessus). Nous pouvons tout à fait résoudre ce genre d'équation avec la méthode de CARDAN. ( à mon avis )

    Peut être que j'introduis une méthode trop compliquée tandis qu'une méthode convergente suffirait... j'attends vos remarques à ce sujet.

    En remplaçant

P par 88000 W; par 1,202 ; SCx par 0,68; f par 0,014; m par 1550 Kg et enfin g par 9,81 m/ , l'équation (f) devient :

0,40868V³ + 212,877V -  88000=0

En divisant par 0,40868 on trouve :

V³ + 520,89V - 215327,4 = 0

N'ayant pas de terme en V² , nous passons au changement de variable :

V = U + Z

d'ou, nous avons :

3.U.Z = - 520,89

Ensuite nous considérons :

U³Z³ = Q = - 5234489,051

U³ + Z³ = T = 215327,4

Nous résolvons :

R² - R.T + Q = 0

Nous trouvons donc :

U = 59,93 et Z = -2,89

    Or, "Vitesse du véhicule" = V = U+Z = 57,04 m/s soit environ 205 km/h. C'est une valeur inférieure à 216 Km/h

                II-2  Capacité d'accélération d'un véhicule

    Ce paragraphe sert à donner une approche intuitive de la notion d'accélération. Par conséquent, en prenant quelques "raccourcis", les formules se trouvent légèrement erronées. Pour introduire la notion d'accélération, j'énonce tout d'abord le "classique" principe fondamental de la dynamique (PFD) :

    (g)

ou encore

avec m = masse du véhicule (kg) ; = l'accélération du véhicule (m/). Ce qui donne après adaptation du PFD à notre étude :

avec Pr = puissance dispo à la roue et P la puissance absorbée

ou plus précisément :

si on ne considère pas f ´ g.   (h)

Cm = couple du moteur au régime en question (N.m) ; r = rapport de multiplication du couple (entre le moteur en entrée et la roue en sortie) ; = vitesse de rotation de la roue (rad/s).

Il faut maintenant introduire la notion de r.

  Dans le cas du schéma ci-dessous (1 seule roue motrice pour simplifier),

et

Cr = couple appliqué à la roue et Wm la vitesse de rotation du moteur

    Je peux rappeler brièvement ce qu'est un couple à travers un exemple :

    Pour démonter une roue et plus précisément pour desserrer les boulons, on utilise une clé voire une clé en croix (ce qui est encore mieux) avec un bras de levier le plus grand possible :

    L'automobiliste exerce une force F à l'extrémité de la clé. Le point B subit une résultante qui est exactement F (même direction et même norme qu'à l'extrémité). Ce n'est donc aucunement cette résultante qui permet au boulon de se serrer. En revanche, le point B voit aussi un couple C (moment) qui vaut C = F ´ l où l désigne la longueur du bras de levier. Et c'est précisément ce couple C qui permet le serrage ou le desserrage du boulon. On comprend donc que plus le bras de levier est grand et plus le couple est fort, et moins on a besoin de force pour exercer le même couple.

    Le mieux est la clé en croix (en X) puisque l'automobiliste crée un couple de deux forces F opposées (vectoriellement de même direction mais de sens contraires). Par conséquent, en B, les résultantes s'annulent et les moments s'ajoutent. Puisque les résultantes s'annulent, nous avons affaire à un couple pur en B, ce qui fait qu' aucune force n'a tendance à faire "riper" la clé sur le boulon.

 Nous commençons donc à comprendre l'utilité de la boîte de vitesses :

 Le rapport r intervient pour calculer la puissance à la roue : Pr =

 Nous avons donc les outils nécessaires pour le calcul de l'accélération.

avec = L'accélération moyenne entre l'état 1 et l'état 2 exprimée en m/ ; = exprimées en m/s; exprimés en secondes (s) et  R = numéro du rapport engagé. Cm = couple moyen moteur sur la plage de vitesses considérées (en Nm) ; m = masse du véhicule (Kg) ; = Rendement total de la chaîne de transmission de puissance entre le moteur et les roues.

 :

et

Application personnelle:

Renault Twingo. J'attends un témoignage d'un possesseur de twingo pour confirmer ou infirmer mes calculs ci après.

Ainsi pour passer de 80 Km/h à 120 Km/h, nous optons pour deux solutions :

- Utiliser le Quatrième rapport (R = 4 et r = 3,6 et Cm = 83 Nm)

- Utiliser le Cinquième rapport (R = 5 et r = 2,8 et Cm = 87,5 Nm)

Après calculs, nous trouvons : et  . Ainsi, On en conclut que pour passer de 80 Km/h à 120 Km/h, la TWINGO met 13 secondes en quatrième et 18,5 secondes en cinquième. On a supposé =1 ce qui n'est pas tout à fait exact (bien que la Twingo soit équipée d'une boîte de vitesses mécanique).

                II-3  Couple moyen

    Méthode personnelle pour trouver la valeur moyenne du couple sur une plage de régime donnée :

et à partir de l'exemple suivant : Il s'agit d'un moteur essence atmosphérique dont la courbe de couple (sélectionnée dans la presse pour la circonstance) est la suivante

    Pour déterminer mathématiquement la valeur moyenne du couple moteur sur une plage de régime donnée, nous devons trouver la fonction (le mécanisme mathématique) qui relie le couple au régime. Nous allons pour ce faire, utiliser la méthode d'approximation des "moindres carrés"(peut être avez vous une méthode plus simple?). Après application de la méthode, nous trouvons qu' entre 1000 et 4000 tours/minute, le couple moteur en fonction du régime s'approxime par la fonction suivante : (après utilisation d'un magnifique logiciel de calculs dont je tairai le nom commençant par un M)

où C désigne le couple (Nm) et n le régime (tr/min). Nous sommes donc en mesure de déterminer "avec précision" une valeur moyenne de couple sur une plage donnée. Par exemple, entre 3000 et 4000 tr/min, on trouve une valeur moyenne du couple de 99,808 Nm. Nous voyons que graphiquement, c'est la valeur que nous aurions trouvée, on peut donc remettre en question l'utilité de la méthode dans un cas simple comme celui-ci. Les cas sont souvent simples car les moteurs actuels sont généralement linéaires. Même si cela nécessite un travail de la part du motoriste, cela s'en ressent à l'usage.

    Nous pouvons donc déterminer la valeur moyenne du couple moteur sur une plage de régime moteur et par conséquent, réinjecter cette moyenne (alors précise) dans la formule permettant de calculer l'accélération du véhicule sur cette même plage de régimes. On obtient par exemple, avec précision, le temps nécessaire à une auto pour aller au mieux de 90 km/h à 130 km/h (en quatrième de 3000 tr/min à 4333 tr/min).

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